Catenary

En física y geometría, el catenary es la curva que una cadena de ejecución en la horca idealizada o el cable asumen bajo su propio peso cuando apoyado sólo a sus finales. La curva tiene una forma parecida A U, superficialmente similar de aspecto a una parábola (aunque matemáticamente completamente diferente). También aparece en el diseño de ciertos tipos de arcos y como un corte transversal del catenoid - la forma asumida por una película de jabón saltó por dos anillos circulares paralelos.

El catenary también se llama el "alysoid", "chainette", o, en particular en las ciencias materiales, "funicular".

Matemáticamente, la curva de catenary es el gráfico de la función del coseno hiperbólica. La superficie de revolución de la curva de catenary, el catenoid, es una superficie mínima y es la única superficie mínima de la revolución además del avión. Las propiedades matemáticas de la curva de catenary fueron estudiadas primero por Robert Hooke en los años 1670, y su ecuación fue sacada por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691.

Catenaries y las curvas relacionadas aparecen en arquitectura e ingeniería, en el diseño de puentes y arcos. Una cadena de ancla suficientemente pesada formará una curva de catenary.

Historia

La palabra catenary se saca de la catenaria de la palabra latina, el que significa "la cadena". La palabra inglesa catenary por lo general se atribuye a Thomas Jefferson,

quien escribió en una carta a Thomas Paine en la construcción de un arco para un puente:

A menudo se dice que Galileo creía que la curva de una cadena colgante era parabólica. En sus Dos Nuevas Ciencias (1638), Galileo dice que una cuerda colgante es una parábola aproximada, y correctamente observa que esta aproximación mejora ya que la curvatura se hace más pequeña y es casi exacta cuando la elevación es menos de 45 °. Que la curva seguida de una cadena no sea una parábola fue probado por Joachim Jungius (1587–1657); este resultado se publicó póstumamente en 1669.

La aplicación del catenary a la construcción de arcos se atribuye a Robert Hooke, cuyo "la forma matemática y mecánica verdadera" en el contexto de la reconstrucción de la Catedral del San Pablo aludió a un catenary. Algunos arcos mucho más viejos se acercan catenaries, un ejemplo de que es el Arco de Taq-i Kisra en Ctesiphon.

En 1671, Hooke anunció a la Sociedad Real que había solucionado el problema de la forma óptima de un arco, y en 1675 publicó una solución criptografiada como un anagrama latino en un apéndice a su Descripción de Helioscopes,

donde escribió que había encontrado "una forma matemática y mecánica verdadera de toda la manera de Arcos para el Edificio." No publicó la solución de este anagrama en su vida, pero en 1705 su ejecutor lo proporcionó como la serie continua de Ut pendet flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum, queriendo decir "Como cuelga un cable flexible por tanto, invertido, ponga las piezas conmovedoras de un arco."

En 1691 Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli sacaron la ecuación en respuesta a un desafío por Jakob Bernoulli. David Gregory escribió un tratado sobre el catenary en 1697.

Euler demostró en 1744 que el catenary es la curva que, cuando hecho girar sobre el eje X, da la superficie de la área de superficie mínima (el catenoid) para los círculos saltadores dados. Nicolas Fuss dio ecuaciones que describen el equilibrio de una cadena bajo cualquier fuerza en 1796.

El arco catenary invertido

Los arcos de Catenary a menudo se usan en la construcción de hornos. Para crear la curva deseada, la forma de una cadena colgante de las dimensiones deseadas se transfiere a una forma que se usa entonces como un guía para la colocación de ladrillos u otro material de construcción.

El Arco de la Entrada en San Luis, Misuri, se dice a veces que Estados Unidos son catenary (invertido), pero esto es incorrecto. Está cerca de una curva más general llamada catenary aplanado, con la ecuación, que es un catenary si. Mientras un catenary es la forma ideal para un arco aislado del grosor constante, el Arco de la Entrada es más estrecho cerca de la cumbre. Según el nombramiento del Lugar de interés histórico Nacional estadounidense para el arco, es "catenary ponderado" en cambio. Su forma equivale a la forma que una cadena ponderada, teniendo más ligeramente une en el medio, se formaría.

Puentes de Catenary

En cadenas que cuelgan del modo libre la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la longitud de la cadena y por tanto la cadena sigue la curva de catenary. Lo mismo es verdad de una puente colgante simple o "catenary puente," donde la carretera sigue el cable.

Un puente de la cinta acentuado es una estructura más sofisticada con la misma forma de catenary.

Sin embargo en una puente colgante con una carretera suspendida, las cadenas o los cables apoyan el peso del puente, y tan no cuelgue libremente. En mayoría de los casos la carretera es llana, por tanto cuando el peso del cable es insignificante comparado con el peso apoyado, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la distancia horizontal, y el resultado es una parábola, como hablado abajo (aunque el término "catenary" a menudo todavía se use, en un sentido informal). Si el cable es pesado entonces la curva que resulta está entre un catenary y una parábola.

Anclaje de objetos marítimos

El catenary producido por la gravedad proporciona una ventaja para el pesado. Un ancla montó a caballo (o línea de ancla) por lo general consiste en cadena o cable o ambos. El ancla rodes es usada por barcos, plataformas petroleras, muelles, turbinas del viento flotantes y otros activos marítimos que se deben anclar en el fondo del mar.

Cuando montar es flojo, la curva de catenary presenta un ángulo inferior de se ponen el ancla o dispositivo de amarradero que sería el caso si fuera casi directo. Esto realza el funcionamiento del ancla y levanta el nivel de fuerza a la cual resistirá antes del arrastramiento. Para mantener la forma de catenary en la presencia de viento, una cadena pesada es necesaria, de modo que los barcos sólo más grandes en el agua más profunda puedan confiar en este efecto. Los barcos más pequeños deben confiar en el funcionamiento de la propia ancla.

Descripción matemática

Ecuación

La ecuación de un catenary en coordenadas Cartesianos tiene la forma

:

donde la porra es la función del coseno hiperbólica. Todas las curvas de catenary son similares el uno al otro. El cambio del parámetro ser equivalente a un escalamiento uniforme de la curva.

La ecuación Whewell para el catenary es

:

La diferenciación da

:

y la eliminación da la ecuación de Cesàro

:

El radio de curvatura es entonces

:

que es la longitud de la línea normal a la curva entre ello y el eje X.

Relación a otras curvas

Un catenary se forma como la curva, que es una ruleta, remontada por el foco cuando se hace rodar una parábola a lo largo de una línea recta. El sobre del directrix de la parábola también es un catenary. El involute del vértice, que es la ruleta se formó remontado por un punto que comienza en el vértice cuando se hace rodar una línea en un catenary, es el tractrix.

Otra ruleta, formada haciendo rodar una línea en un catenary, es otra línea. Esto implica esto

Las ruedas cuadradas pueden rodar perfectamente suavemente si el camino tiene golpes regularmente espaciados en forma de una serie de curvas de catenary invertidas. Las ruedas pueden ser cualquier polígono regular excepto un triángulo, pero el catenary debe tener parámetros correspondiente a la forma y las dimensiones de las ruedas.

Propiedades geométricas

Sobre cualquier intervalo horizontal, la proporción del área bajo el catenary a su longitud iguala a, independiente del intervalo seleccionado. El catenary es la única curva plana además de una línea horizontal con esta propiedad. También, centroid geométrico del área bajo una extensión de catenary es el punto mediano del segmento perpendicular que une el centroid de la propia curva y el eje X.

En ciencia

Un precio en un campo eléctrico uniforme circula un catenary (que tiende a una parábola si la velocidad del precio es mucho menos que la velocidad de la luz c).

La superficie de revolución con radios fijos al uno o el otro final que tiene la área de superficie mínima es un catenary hecho girar sobre el eje X.

Análisis

Modelo de cadenas y arcos

En el modelo matemático. la cadena (o cuerda, cable, cuerda, cuerda, etc.) se idealiza suponiendo que sea tan delgado que se puede considerar como una curva y que es tan flexible cualquier fuerza de la tensión ejercida por la cadena es paralela a la cadena. El análisis de la curva para un arco óptimo es similar salvo que las fuerzas de tensión se hacen fuerzas de la compresión y todo se invierte.

Un principio subyacente es que la cadena se puede considerar un cuerpo rígido una vez que ha alcanzado el equilibrio. Las ecuaciones que definen la forma de la curva y la tensión de la cadena a cada punto pueden ser sacadas por una inspección cuidadosa de varias fuerzas que afectan a un segmento usando el hecho que estas fuerzas deben estar en el equilibrio si la cadena está en el equilibrio estático.

Deje al camino seguido de la cadena es dado paramétricamente por

r = (x, y) = (x (s), y (s)) donde s representa la longitud del arco y r es el vector de la posición. Esto es parameterization natural y tiene la propiedad esto

:

donde u es un vector de la tangente de la unidad.

Una ecuación diferencial para la curva se puede sacar así. Deje a c ser el punto más bajo en la cadena, llamada el vértice del catenary,

y mida el parámetro s de c. Suponga que r sea a la derecha de c ya que el otro caso es implicado por la simetría. Las fuerzas que afectan a la sección de la cadena de c a r son la tensión de la cadena en c, la tensión de la cadena en r y el peso de la cadena. La tensión en c es la tangente a la curva en c y es por lo tanto horizontal, y tira la sección a la izquierda por tanto se puede escribir (T, 0) donde T es la magnitud de la fuerza. La tensión en r es paralela a la curva en r y tira la sección a la derecha, por tanto puede ser Tu escrito = (Tcos φ, Tsin φ), donde T es la magnitud de la fuerza y φ es ser el ángulo entre la curva en r y el eje X (ver el ángulo tangencial). Finalmente, el peso de la cadena se representa por (0, − λgs) donde λ es la masa por unidad de longitud y g es la aceleración de la gravedad.

La cadena está en el equilibrio por tanto la suma de tres fuerzas es 0, por lo tanto

:

y

:

y la división de éstos da

:

Es

conveniente escribir

:

que es la longitud de la cadena cuyo peso es igual en la magnitud a la tensión en c. Entonces

:

es una ecuación que define la curva.

Es

inmediato que el componente horizontal de la tensión, Tcos φ = λga es constante y el componente vertical de la tensión, Tsin φ = λgs es proporcional a la longitud de la cadena entre el r y el vértice.

Derivación de ecuaciones para la curva

La ecuación diferencial dada encima se puede solucionar para producir ecuaciones para la curva.

De

:

la fórmula para la longitud del arco da

:

Entonces

:

y

:

La segunda de estas ecuaciones se puede integrar para dar

:

y cambiando la posición del eje X, el β se puede tomar para ser 0. Entonces

:

El eje X así elegido se llama el directrix del catenary.

Resulta que la magnitud de la tensión a un punto T = λgy que es proporcional a la distancia entre el punto y el directrix.

La integral de expresión para dx/ds se puede encontrar usando técnicas estándares que dan

:

y, otra vez, cambiando la posición del eje Y, el α se puede tomar para ser 0. Entonces

:

El eje Y así pases elegidos aunque el vértice y se llame el eje del catenary.

Estos resultados pueden ser usados para eliminar s que da

:

Derivación alternativa

La ecuación diferencial se puede solucionar usando un enfoque diferente.

De

:

resulta que

:

y

:

La integración da,

:

y

:

Como antes, el x y los ejes Y se pueden cambiar así α y β se puede tomar para ser 0. Entonces

:

y la toma del recíproco de ambos lados

:

La adición y restar las dos últimas ecuaciones entonces dan la solución

:

y

:

Determinación de parámetros

En general el parámetro a y la posición del eje y directrix no se da, pero se debe determinar de otra información. Típicamente, la información dada es que el

el catenary se suspende a puntos dados A y Un ′ y con la longitud dada l. La ecuación se puede determinar en este caso así:

La nueva etiqueta si es necesario de modo que A sea a la izquierda de Un ′ y deje a h y k ser las distancias verticales y horizontales de un a Un ′. Traduzca las hachas de modo que el origen esté en el vértice del catenary por tanto la ecuación de la curva es

:

y deje a las coordenadas de A y Un ′ ser (b, c) y (b ′, c ′) respectivamente. La curva pasa por estos puntos, por tanto

:

de cual

:

Las longitudes de la curva del vértice a A y del vértice a Un ′ son

:

respectivamente, por tanto la longitud de un a Un ′ es

:

Cuando l−k se amplía usando estas expresiones el resultado es

:

tan

:

Esto es una ecuación transcendental en a y se debe solucionar numéricamente. Sin embargo, se puede mostrar con los métodos de cálculo que hay como máximo una solución con a> 0 y así hay como máximo una posición del equilibrio. Además, una solución sólo existe cuando

:

en otras palabras el l es mayor que la distancia de un a Un ′. Es decir una solución sólo existe cuando la longitud de la cadena es más larga que la distancia entre los dos puntos.

Generalizaciones con fuerza vertical

Cadenas no uniformes

Si la densidad de la cadena es variable entonces el análisis encima se puede adaptar para producir ecuaciones para la curva dada la densidad o darse la curva para encontrar la densidad.

Deje a w denotar el peso por unidad de longitud de la cadena, entonces el peso de la cadena tiene la magnitud

:

donde los límites de integración son c y r. El equilibrio de fuerzas como en la cadena uniforme produce

:

y

:

y por lo tanto

:

La diferenciación entonces da

:

En términos de φ y el radio de curvatura ρ esto se hace

:

Curva de la puente colgante

Un análisis similar se puede hacer para encontrar la curva seguida del cable que apoya una puente colgante con una carretera horizontal. Si el peso de la carretera por unidad de longitud es w y el peso del cable y el alambre que apoya el puente es insignificante en la comparación, entonces el peso en el cable de c a r es wx donde x es la distancia horizontal entre c a r. El proceso como antes da la ecuación diferencial

:

Esto es solucionado por la integración simple para conseguir

:

y por tanto el cable sigue una parábola. Si el peso del cable y alambres de apoyo no es insignificante entonces el análisis es más complejo.

Catenary de fuerza igual

En un catenary de la fuerza igual, el cable se refuerza según la magnitud de la tensión a cada punto, por tanto su resistencia a la rotura es constante a lo largo de su longitud. Suponiendo que la fuerza del cable sea proporcional a su densidad por unidad de longitud, el peso, w, por unidad de longitud de la cadena se puede escribir T/c, donde c es constante, y el análisis para cadenas no uniformes se puede aplicar.

En este caso las ecuaciones para la tensión son

:

:

La combinación da

:

y por diferenciación

:

donde ρ es el radio de curvatura.

La solución de esto es

:

En este caso, la curva tiene asymptotes vertical y esto limita la envergadura con πc. Otras relaciones son

:

La curva era 1826 estudiado por Davies Gilbert y, por lo visto independientemente, por Gaspard-Gustave Coriolis en 1836.

Catenary elástico

En catenary elástico, la cadena se sustituye antes de una primavera que se puede estirar en respuesta a la tensión. Se supone que la primavera se estire de acuerdo con la Ley de Hooke. Expresamente, si p es la longitud natural de una sección de la primavera, entonces la duración de la primavera con la tensión T aplicado tiene la longitud

:

donde E es una constante. En el catenary el valor de T es variable, pero la proporción permanece válida en un nivel local, por tanto

:

La curva seguida antes de una primavera elástica se puede sacar ahora después de método similar en cuanto a la primavera inelástica.

Las ecuaciones para la tensión de la primavera son

:

y

:

de cual

:

donde p es la duración natural del segmento de c a r y λ es la masa por unidad de longitud de la primavera sin la tensión y g es la aceleración de gravedad. Escriba

:

tan

:

Entonces

:

y

:

de cual

:

y

:

La integración da las ecuaciones paramétricas

:

:

Otra vez, el x y los ejes Y se pueden cambiar así α y β se puede tomar para ser 0. Tan

:

:

son ecuaciones paramétricas para la curva.

Otras generalizaciones

Una cadena bajo una fuerza general

Sin asunciones se han hecho en cuanto a la fuerza G afectando a la cadena, el análisis siguiente se puede hacer.

En primer lugar, deje a T=T (s) ser la fuerza de tensión como una función de s. La cadena es flexible por tanto sólo puede ejercer una fuerza paralela a sí. Ya que la tensión se define como la fuerza que la cadena ejerce en sí, el T debe ser paralelo a la cadena. En otras palabras,

:

donde T es la magnitud de T y u es el vector de la tangente de la unidad.

En segundo lugar, deje a G=G (s) ser la fuerza externa que por unidad de longitud afecta a un pequeño segmento de una cadena como una función de s. Las fuerzas que afectan al segmento de la cadena entre s y s +Δs son la fuerza de tensión T (s +Δs) a un final del segmento, la fuerza casi de enfrente T (s) al otro final y la fuerza externa que afecta al segmento que es

aproximadamente GΔs. Estas fuerzas deben equilibrar así

:

Divídase en y tome el límite para obtener

:

Estas ecuaciones se pueden usar como el punto de partida en el análisis de una cadena flexible que actúa bajo cualquier fuerza externa. En caso del estándar catenary, G = (0, − λg) donde la cadena tiene la masa λ por unidad de longitud y g es la aceleración de la gravedad.

Véase también

Notas

Bibliografía

Adelante lectura

Enlaces externos



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